线性代数和Matlab-求解线性方程组

线性代数的任务之一——求解线性方程组

线性方程组的解有三种类型:

(1)适定方程组:存在着唯一的一组解

(2)欠定方程组:其解存在但不唯一

(3)超定方程组:不存在精确解,可以求出其近似解(最小二乘)

线性方程组有解的充分必要条件:系数矩阵与增广矩阵的秩相等$R(A)=R([Ab])$。

rref

线性代数最基本的运算函数:rref(Reduce Row Echelon Form)

作用,把矩阵化为行最简形,有以下功能

(1)解线性方程组;(也可用左除,见例题(3))

(2)求矩阵的秩;

(3)求矩阵行最简形首元所在的列数。

应用:简单交通流量数学模型,化学方程的配平

行阶梯最简矩阵:每一行第一个非零元素是$1$,而这个元素所在的列的其他元素是$0$

$\begin{bmatrix}1&0&0&3&4&5 \\ 0&1&0&7&1&2 \\0&0&1&0&3&7\end{bmatrix}$

矩阵的秩:约束条件(行最简有几行非零),表明独立方程的个数。

首元:每一行第一个非零元素

例题

(1)解方程

求解方程组$\left\lbrace\begin{align} &2x_1-2x_2+2x_3+6x_4=-16\\ &2x_1-x_2+2x_3+4x_4=-10\\&3x_1-x_2+4x_3+4x_4=-11\\&x_1+x_2-x_3+3x_4=-12 \end{align}\right.$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A=[2,-2,2,6;2,-1,2,4;3,-1,4,4;1,1,-1,3];
b=[-16;-10;-11;-12];
%增广矩阵[A,b]
%行阶梯最简矩阵
U0c=rref([A,b])


>>U0c =

1 0 0 0 11
0 1 0 0 -8
0 0 1 0 -6
0 0 0 1 -7

(2)判断解的性质和秩

设方程组的系数矩阵A,b如下,判断它解的性质及A的秩

$A=\begin{bmatrix}-2&-2&2&2&-2\\1&-5&1&-3&-1\\-1&2&-5&6&5\\-1&2&1&0&-1 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}-2\\-1\\2\\0\end{bmatrix}$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
A=[-2,-2,2,2,-2;1,-5,1,-3,-1;-1,2,-5,6,5;-1,2,1,0,-1];
b=[-2;-1;2;0];
%U0c行最简形
%ip是行最简行首元所在的列序号
[U0c,ip]=rref([A,b])

>>U0c

U0c =

1.0000 0 0 0 0 -0.2222
0 1.0000 0 0 0 0.2222
0 0 1.0000 0 -1.0000 -0.6667
0 0 0 1.0000 0 -0.3333

>> ip

ip =

1 2 3 4

%ip的长度为4,说明有4个主元和主元行,即矩阵A的秩r=4。由于系数矩阵A与增广矩阵[A,b]具有同样的秩,方程组是相容的。它有四个方程和五个变量。故方程组又是欠定的,其中x5是可以任选的自由变量,取不同的值就有不同的解,故有无穷多组解:x1=-0.2222,x2=0.2222,x3-x_5=-0.6667,x_4=-0.3333

(3)求插值多项式的系数

求插值多项式$p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3$的各系数,使它能通过表中各点。

$t_i$ $0$ $1$ $2$ $3$
$f(t_i)$ $3$ $0$ $-1$ $6$

解:$\left\lbrace\begin{align} &a_0=3\\ &a_0+a_1+a_2+a_3=0\\&a_0+2a_1+4a_2+8a_3=-1\\&a_0+3a_1+9a_2+27a_3=6 \end{align}\right.\Longrightarrow AX=b\Longrightarrow X=A\backslash b$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
A=[1,0,0,0;...
1,1,1,1;...
1,2,4,8;...
1,3,9,27];
b=[3;0;-1;6];
U0c=rref([A,b])


>> U0c

U0c =

1 0 0 0 3
0 1 0 0 -2
0 0 1 0 -2
0 0 0 1 1

%也可以用左除
>> X=A\b

X =

3
-2
-2
1

课件

习题

答案

打赏
  • Copyrights © 2020-2021 haoyu fang
  • 访问人数: | 浏览次数:

请我喝杯啤酒吧~

支付宝
微信