线性代数和Matlab-矩阵运算

把多个线性系统相互联接,构成更大、更复杂的系统,是线性代数要完成的重要任务,这就需要建立矩阵代数的理论和算法。

矩阵的数乘

定义:数$\lambda$与矩阵$A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$的乘积,简称数乘,记作$\lambda A$或$A\lambda$,规定为$$\lambda A=A\lambda=\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots&\lambda a_{mn} \end{bmatrix}$$

符合数乘结合律、分配律。

矩阵的乘法

(1)AB可乘条件(相邻下标相等):A的列数=B的行数

(2)AB乘积C的形状:A的行*B的列

(3)AB乘积C的元素构成:A的行与B的列的内积

$A_{m\times s}*B_{s\times n}=C_{m\times n}\\ c_{ij}=\displaystyle \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+cdots+a_{is}b_{sj}\quad(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$

矩阵乘法不符合交换律,一般情况下$AB\ne BA$。

线性变换

变量X到变量Y的线性变换。可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入向量X:

$$Y=\begin{bmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_m \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots& a_{mn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}=AX$$

多次线性变换等价于矩阵连乘

$$Y=AX,X=BT\Longrightarrow Y=ABT$$

矩阵乘法与标量乘法的不同

(1)矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况下$AB\ne BA$

(2)不能由$AB=0$,推出$A=0$或$B=0$

(3)不能由$AC=AB,A\ne 0$,推出$B=C$

(4)$(A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA$

矩阵乘法满足的规律

空间次序不能变,时间次序可以变。

(1)$(AB)C=A(BC)$

(2)$A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$

(3)$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$

(4)$A_{m\times n}I_n=I_mA_{m\times n}=A_{m\times n}$

(5)设$A,B$均为下(上)三角方阵,则$C=AB$也是下(上)三角方阵,且$C$的对角主元逐项等于$A$和$B$的对角主元的乘积。如$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}9&8&7\\0&6&5\\0&0&4\end{bmatrix},C=A*B=\begin{bmatrix}9&20&29\\0&24&40\\0&0&24\end{bmatrix}$

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